J’avais dix-neuf ans et j’ai vécu un truc qui m’a marqué (j’en entends qui rient devant leur écran)… Bon vous savez tous ce qu’est une bijection… Non ? Bon pour faire simple, mais pas déformé, une bijection c’est une application d’un ensemble dans un autre telle que tout élément de l’ensemble de départ a une image dans l’ensemble d’arrivée et réciproquement tout élément de l’ensemble d’arrivée a un antécédent UNIQUE dans l’ensemble de départ. En gros si vous vous rappelez des petits dessins que vous faisiez en cours de maths ça ressemble a ça :
En on pourrait rajouter plein d’autres points d’un cote et de l’autre a condition qu’a chaque fois on puisse rajouter la « petite ficelle » qui les lie deux a deux…. Bref pour un humain normal on peut dire qu’il y a autant de points d’un cote que de l’autre…. Même s’il y en a beaucoup, même s’il y en a tellement qu’on ne peut pas les compter…. Comme on sait qu’il y a la petite ficelle on est tranquille, on n’a pas besoin de les voir vraiment…
Seulement voila : Il était une fois un ensemble qui s’appelait R (l’ensemble des nombres réels) vous vous y êtes forcement frottes si vous avez le bac, même un bac littéraire. Prenons une bijection dans R par exemple, une facile f(x)=2x. Par cette fonction on associe à tout nombre réel son double. Il n’en a qu’un (quand on multiplie un nombre par deux le résultat est unique sinon adios les tables de multiplication par 2) et si on me donne un nombre réel je sais le diviser par deux, je peux toujours le diviser par 2 et le résultat aussi est unique. Donc c’est une bijection. Facile ! Seulement voila… si je m’intéresse a cette application sur le segment [0,1] c’est-à-dire l’ensemble des nombres réels compris entre 0 et 1 inclus (oui je sais il y en a vachement beaucoup) et que je lui applique cette bijection son image est le segment [0,2]. Alors comme ça il y aurait autant de points entre 0 et 1 qu’entre 0 et 2 c’est quoi cette salade ? par exemple 1,5 et 2 ne sont pas dans [0,1] ça en fait au moins 2 de plus ! Et pourtant j’ai bien une bijection…
Mais R a un petit secret il est non seulement infini, comme N ou Q mais il est non-dénombrable, on dit aussi qu’il a la puissance du continu…
Bon je ne sais pas si vous avez percuté, ou si je me suis bien exprimé, mais ça m’a fait plaisir d’en parler : Il y a des trucs qu’on ne peut pas compter… alors vraiment réels ces nombres ?
Ago's Blog 
Hello Ago
« et réciproquement tout élément de l’ensemble d’arrivée a un antécédent UNIQUE dans l’ensemble d’arrivée » -> unique dans l’ensemble de départ.
Indeed… et la preuve que c’est un premier jet relu un peu (trop) vite 😉
il y a aussi le savoureux « le segment [0,1] c’est-à-dire l’ensemble des nombres réels compris entre 1 et 2 inclus » que je vais corriger de ce pas !
Là, j’avoue que je n’avais pas trop capté ce que tu voulais dire, alors je me suis abstenu…
Tu as le mérite de publier des articles très intéressants, et « errare humanum est ».
on appelle segment AB note [A,B] l’ensemble des points compris entre A et B les extrémités incluses. Si on ne les inclut pas c’est le segment ouvert ]A,B[ ou semi ouvert [A,B[ ou ]A,B]… c’est juste un mot hein…mais ca aide pour savoir de quoi on parle.
Merci KfE ca fait toujours plaisir de recevoir un compliment…et ca encourage a continuer en plus !
Cher Monsieur Ago,
Tu me vois très contrite ce soir, de n’avoir pas compris ton histoire de Shadocks ! Elle est bien expliquée, simple, facile d’accès pour les béotiennes de ma trempe, et pourtant tes Shadocks ne s’animent pas. Est-ce normal, ou faut-il que je secoue mon écran ?
Ago, jusqu’à cette lecture je me croyais d’une intelligence moyenne. C’est pas sympa tes coups bas !
Très chère Dame Dom-Dom
(tiens ca fait un peu Goldman (long is the road): dam-dam-dou-di-dam-dam…)
l’intelligence n’a rien a voir la-dedans, c’est juste une question de ce a quoi on a été exposé quand on était petit 😉
« Comme on sait qu’il y a la petite ficelle on est tranquille »
Désolé Ago j’ai pas pu m’en empécher…!
😉
Ago, depuis la parrution ce cet article dénombre les ires réelles…
C’est un probleme complexe que tu poses la 😉
[1,2] a autant d’éléments que [0,1] puisque x->1+x est une bijection de [0,1] sur [1,2]. On peut comprendre que [0,1] et [0,2] aient autant d’éléments (deux fois une même infinité donne une infinité « de même ordre de grandeur »).
C’est peut-être plus troublant avec x->1/(1+x) qui est bijective de [0,+oo[ sur ]0,1] et qui prouve qu’il y autant d’éléments dans R+ que dans ]0,1]…
C’est vrai mais j’ai pense que f(x)=2x était plus facile a appréhender pour tout le monde. Difficile de parler a des non matheux de point d’accumulation, de Borel Lebesque ou de Bolzano-Weierstrass et de suite bornee mais n’ayant pas de plus grand élément, c’est pourtant la que se cache le secret 😉
Ceci dit les ensembles comme Q sont déjà assez troublants mais R c’est vraiment irréel. Un bijou de construction !